		\subsection{Cas particulier: le tenseur d'ordre 2}

\noindent Le tenseur d'ordre 2 est un modèle couramment utilisé dans la littérature qui repose sur l'hypothèse d'un processus de diffusion gaussien. Lorsque $l=2$, la matrice symétrique définie positive $\textbf{D}$ contient $N_l=6$ éléments distincts. 
%Les termes diagonaux $d_{xx}$, $d_{yy}$ et $d_{zz}$ mesurent des concentrations de gradient et des flux dans une même direction, alors que les termes anti-diagonaux $d_{xy}$, $d_{xz}$ et $d_{yz}$ mesurent des flux et des concentrations de gradient dans des directions orthogonales. 
Les termes diagonaux $d_{11}$, $d_{22}$ et $d_{33}$ ont une multiplicité $\mu=1$, alors que les termes anti-diagonaux $d_{12}$, $d_{13}$ et $d_{23}$ ont une multiplicité $\mu=2$. $\textbf{D}$ est donc une matrice $3 \times 3$ de la forme:

\begin{equation}
\textbf{D} = 
\begin{pmatrix}
d_{11} & d_{12} & d_{13} \\
*      & d_{22} & d_{23}\\
*      &*       & d_{33}
\end{pmatrix}
\end{equation}

\noindent où les $*$ représentent les éléments symétriques.

		\subsubsection{Décomposition d'un tenseur d'ordre 2}

%La diagonalisation d'un tenseur $\textbf{D}$ d'ordre 2 fait apparaitre sur la diagonale d'une matrice, appelée matrice des valeurs propres, les valeurs de diffusivité
\noindent Les valeurs propres de la matrice symétrique définie positive associée au tenseur d'ordre $2$ sont les valeurs de diffusivité données dans les axes du repère de diagonalisation contenus dans la matrice des vecteurs propres. Ainsi, la direction de plus grande diffusion est donnée par le vecteur propre du tenseur associé à la plus grande valeur propre.
La processus de diagonalisation est le suivant: on cherche une base (celle formée par les vecteurs propres) dans laquelle $\textbf{D}$ est diagonale (avec pour éléments diagonaux les valeurs propres). Rappelons que d'après le théorème spectral, toute matrice symétrique à éléments réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice orthogonale. Ses valeurs propres sont donc réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux. Notons $ \lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \lambda_{3} \ge 0$ ces valeurs propres, et $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ les vecteurs propres associés. Une propriété intrinsèque au tenseur $\textbf{D}$ est qu'il est défini positif, ce qui impose que toutes les valeurs propres soient positives. Soit $\textbf{U}$ la matrice orthogonale de passage constituée des colonnes de coordonnées $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ écrits dans la base canonique. Alors, on peut vérifier que:

\begin{equation}
\begin{matrix}
\textbf{D} \vec{e_{i}} = \lambda_i \vec{e_{i}} \\
ou \\
(\textbf{D} - \lambda_i \textbf{I}) \vec{e_{i}} = 0
\end{matrix}
\end{equation}

\noindent avec $\textbf{I}$ la matrice identité. Notons que les valeurs propres $\lambda_i$ apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que nous avons placé les vecteurs propres pour former $\textbf{U}$. Les valeurs propres $\lambda_i$ peuvent être trouvées en résolvant l'équation caractéristique suivante:

\begin{equation}
	\begin{vmatrix}
	d_{11}-\lambda&d_{12}&d_{13} \\
	d_{21}&d_{22}-\lambda&d_{23}\\
	d_{31}&d_{32}&d_{33}-\lambda
	\end{vmatrix}
	= 0 \\
\end{equation}

\noindent En développant le déterminant, on obtient:

\begin{equation}
	\lambda^3 - \lambda^2(d_{11}+d_{22}+d_{33}) + \lambda \left(
	\begin{vmatrix}
	d_{22} & d_{33} \\
	d_{23} & d_{33}
	\end{vmatrix}
	+
	\begin{vmatrix}
	d_{11} & d_{21} \\
	d_{12} & d_{22}
	\end{vmatrix}
	+
	\begin{vmatrix}
	d_{11} & d_{31} \\
	d_{13} & d_{33}
	\end{vmatrix}
	\right) - 
	\begin{vmatrix}
	d_{11}&d_{12}&d_{13} \\
	d_{21}&d_{22}&d_{23}\\
	d_{31}&d_{32}&d_{33}
	\end{vmatrix}
	= 0
\end{equation}

\noindent où $\lambda$ est un scalaire qui est indépendant du choix du système de coordonnées. On peut ainsi déduire les quantités invariantes par rotation du tenseur $\textbf{D}$:

\begin{eqnarray}
I_1 & = & d_{11}+d_{22}+d_{33} \nonumber \\
I_2 & = &
\begin{vmatrix}
d_{22} & d_{33} \\
d_{23} & d_{33}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
d_{11} & d_{21} \\
d_{12} & d_{22}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
d_{11} & d_{31} \\
d_{13} & d_{33}
\end{vmatrix} \nonumber \\
I_3 & = &
\begin{vmatrix}
d_{11}&d_{12}&d_{13} \\
d_{21}&d_{22}&d_{23}\\
d_{31}&d_{32}&d_{33}
\end{vmatrix}
\end{eqnarray}

\noindent Notons que $I_1$ est la trace et $I_3$ est le déterminant de $\textbf{D}$. Ces quantités invariantes permettent de définir des indices scalaires caractérisant le tenseur. La transformée inverse, d'un système de valeurs propres et vecteurs propres vers un tenseur, est donnée par la relation suivante:

\begin{equation}
\textbf{D} = [ \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}} ] diag[\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}][ \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}} ]^{-1} = \textbf{U} \textbf{V} \textbf{U}^{-1}
\end{equation}

\noindent Puisque $\textbf{U}$ est une matrice orthogonale (\textbf{D} symétrique), $\textbf{U}^{-1}=\textbf{U}^{T}$. Pour une matrice symétrique, l'équation précédente se simplifie:

\begin{equation}
	\textbf{D} = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i \vec{e_i} \vec{e_i}^{T}
\end{equation}

\noindent Généralement, le tenseur de diffusion est représenté par une ellipsoïde. Toutefois, il est intéressant de noter que l'ellipsoïde ne correspond pas au profil de diffusion qui a en réalité la forme d'une cacahuète, mais à une surface d'isoprobabilité du propagateur.
Le profil de diffusion $d(\vec{g})$ est tracé à partir de la relation \eqref{GProfil}, soit $d(\vec{g})=\vec{g}^T \textbf{D} \vec{g}$, pour tout $\vec{g}$ unitaire. La surface représentative de l'ellipsoïde est calculée à partir de la relation $\vec{g}^T \textbf{D} \vec{g}=cste$. Ce n'est pas une fonction de $\vec{g}$, mais une fonction implicite pour laquelle on trace les valeurs de $\vec{g}$ vérifiant la relation ($\vec{g}$ n'est donc plus nécessairement unitaire). Finalement, le signal de diffusion peut être tracé à partir de la relation \eqref{GStejkal}, soit $S(\vec{g})=exp(-b\vec{g}^T \textbf{D} \vec{g})$, pour tout $\vec{g}$ unitaire.
% Cette forme caractéristique dite de cacahuète provient de la relation non linéaire entre la diffusion et la longueur de diffusion, $\sigma = 2 d t$. 
Cette différence de représentation est illustrée dans la figure \ref{PEANUT_TENSOR}. \newline

\begin{figure}[tbp]
\centering
	\includegraphics[scale=0.42]{./ima/visu_tenseur}
	\caption{Visualisation du champ de tenseurs issu d'une modélisation à l'ordre 2.}
	\label{VISU_TENSOR}
\end{figure}

\begin{figure}[tbp]
\centering
	\includegraphics[scale=0.4]{./ima/adc_odf}
	\caption{Différente représentation pour un tenseur ($\textbf{D}=[2,0.5,0.5,0,0,0]$): le signal de diffusion $S(\vec{g})$, l'ADC qui représente le profil de diffusion $d(\vec{g})$ et le tenseur qui correspond à la surface d'isoprobabilité du propagateur $\vec{g}^T \textbf{D} \vec{g}=cste$.}
	\label{PEANUT_TENSOR}
\end{figure}
